Schrodinger 表象

定义运动方程

Schrodinger 表象的定义就是学习量子力学的过程中用的定义. Schrodinger 表象中的运动方程是 Schrodinger 方程

$$\begin{align} \label{eq:seq} \mathrm{i}\hbar \mid \dot{\psi}_S(t) \rangle = H \mid \psi _S(t) \rangle \end{align}$$

演化算符的定义

定义演化算符 $U_S(t,t_0)$ 使得满足

$$\begin{align} \mid \psi_{S}(t) \rangle= U_S (t,t_0) \mid \psi_S(t_0)\rangle \end{align}$$

也就是说算符 $U_S(t,t_0)$ 能够把态从 $t_0$ 变到 $t$ . 这样定义 $U_S(t,t_0)$ 的话, 它就有如下性质: 1. $U_S^{\dagger}(t,t_0) = U_S^{-1}(t,t_0)$ ,也就是说它是幺正的. 它作用在 bra 上时是反向演化, 这是物理的. 2. $U_S(t_0,t_0) = \mathbf{1}$ ,它在相同之间的演化是单位算符. 这当然是物理的. 3. $U_S(t,t_0) = U_S(t,t')U_S(t',t_0)$ 时间的演化是可以连接和拆分的, 这也是物理的. 这三条性质都可以由定义证明.

态随时间的演化应该满足 Schrodinger 方程, 所以将定义代入 Schrodinger 方程, 就可以知道演化算符随时间的演化

$$\begin{align} \label{eq:eoms} \mathrm{i}\hbar \dot{U}_S(t,t_0) = H_t U_S (t,t_0) \end{align}$$

这也符合预期. 因为根据定义, 态随时间变化的信息全都包含在了演化算符中, 所以演化算符对时间的导数就等于态对时间的导数.

演化算符的具体形式

原始形式

根据演化算符随时间演化的方程 \eqref{eq:eoms} , 就可以推出演化算符的具体形式

$$\begin{align} \label{eq:evl1} U_S (t,t_0) = \mathbf{1} +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t_1 \, H_{t_t} U_S(t_1,t_0) \end{align}$$

第一项是单位算符, 是演化算符的初值, 也就是对就它的第二条性质 $U_S(t_0,t_0) = 1$ . 第二项是对变化率的积分. 这只是形式上的, 因为它是一个迭代方程. 如果 $H$ 不随时间变化,那么情况就大为简化, 这就是常见的微分方程, 求导之后是本身再出来一个常数, 它就是 $e$ 指数.

von Neumann's series 形式

将原始的形式 \eqref{eq:evl1} 进行迭代, 就得到了它的级数形式

$$\begin{align} U_S (t,t_0) = \mathbf{1} +\sum_{n=1}^{\infty} U_S^{(n)}(t,t_0) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} U_S^{(n)}(t,t_0) = \left( \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \right)^n \cdot \int_{t_0}^t \mathrm{d}t_1 \int_{t_0}^{t_1} \mathrm{d}t_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}\mathrm{d}t_n\cdot H_{t_1}H_{t_2} \cdots H_{t_n} \quad \quad (t \ge t_1 \ge \cdots t_n \ge t_0) \end{align}$$

通项中第一项是 $n$ 次迭代后的常数项. 第二项是 $n$ 次迭代后的 $n$ 个积分. 第三项是 $n$ 次迭代后的 $n$ 个变化率. $n$ 个积分是互相嵌套的, 后一个积分的上限是前一个积分的变量. 由于这个嵌套关系,这 $n$ 个积分是不独立的, 因此没法写成一个积分的 $n$ 次方.

time-ordered 形式

可以通过 Heaviside step function $\Theta$ 将所有的积分上限都写成 $t$

$$\begin{align} \label{eq:evl2} U_S^{(n)}(t,t_0) = \left( \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \right)^n \cdot \int_{t_0}^t \mathrm{d}t_1 \int_{t_0}^{t} \mathrm{d}t_2 \cdots \int_{t_0}^t\mathrm{d}t_n\cdot H_{t_1}H_{t_2} \cdots H_{t_n} \cdot \Theta (t-t_1) \Theta(t_1-t_2) \cdots \Theta(t_{n-1}-t_n) \end{align}$$

随便打乱 $t_1 \cdots t_n$ 的指标, 积分的结果是一样的, 所有的打乱方法一共有 $n!$ 种. 这些所有的排列打乱求和, 就是 time-ordering 算符定义. 所以上式可以写为

$$\begin{align} \label{eq:evl3} U_S^{(n)}(t,t_0) = \frac{1}{n!} \cdot \left( \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \right)^n \cdot \int_{t_0}^t \mathrm{d}t_1 \int_{t_0}^{t} \mathrm{d}t_2 \cdots \int_{t_0}^t\mathrm{d}t_n\cdot T_D\left\{ H_{t_1}H_{t_2} \cdots H_{t_n} \right\} \end{align}$$

把 time-ordering 算符提到前面, 后面是 $n$ 个结果相同的积分, 可以写成一个积分的 $n$ 次幂. 这恰好是 $e$ 指数的级数展开, 因此

$$\begin{align} U_S^{(n)}(t,t_0) = T_D \left\{ e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int _{t_0}^t \mathrm{d}t' H_{t'}} \right\} \end{align}$$

几何意义

类比二维, 积分 \eqref{eq:evl2} 可以理解成一个高维的"锥"的体积. 这个"锥", 从二维开始增加维度, 然后把新增加的维度捏到一个点上. 比如一维是一条线, 增加到二维是一个正方形, 然后把新增加的维度捏到一个点上, 就变成了一个等腰直角三角形, 积分 \eqref{eq:evl2} 在 $n2$ 的时对应的就是一个三角形的"体积"(二维的体积就是面积). 再增加到三维, 变成一个三棱柱, 然后把其中一个底面捏到一个点上 积分 \eqref{eq:evl2} 在 $n3$ 时 就对应这个锥的体积. 依此可以推广到高维的情形. 可以证明, 一个 $n$ 维的这种"锥"的体积为对应的 $n$ 维的立方体体积的 $\frac{1}{n!}$ (证明见最后的 Supplementary 部分) , 如果边长是 $a$ , 那么其体积就是 $\frac{a^n}{n!}$ ,这就对应到了积分 \eqref{eq:evl3} .

Heisenberg 表象

定义

Heisenberg 表象将系统的变化从态中移到了力学量算符中

$$\begin{align} \langle \psi_S(t) | A_S | \psi_S(t)\rangle = \underbrace{\langle \psi_S(t_0) |}_{\langle \psi_H |} \underbrace{U(t_0,t) A_S U(t,t_0)}_{A_H(t)} \underbrace{| \psi_S(t_0)\rangle}_{| \psi_H\rangle} = \langle \psi_H | A_H(t)| \psi_H\rangle \end{align}$$

也就是说 Heisenberg 表象中的态不变, 算符作用在态上时, 自动将态演化到 $t$ 时刻

$$\begin{align} A_H(t) = U(t_0,t) A_S U(t,t_0) = U^{-1}(t,t_0) A_S U(t,t_0) \end{align}$$

运动方程

在 Heisenberg 表象中, 运动方程从 Schrodinger 表象中态的 Schrodinger 方程, 变为算符的 Heisenberg 方程

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \dot{A}_H(t) = [A_H,H_H](t) + \boxed{\mathrm{i}\hbar U_S(t_0,t) \frac{ \partial A_S}{\partial t}U_S(t,t_0)} \end{align}$$

方框中的部分一般为零, 代表算符本身的随时间变化. 而第一项是由 Hamiltonian 主导的变化. 可以理解, 算符左右各有一个演化算符, 每个演化算符的时间导数出来一项 $H$ ,两项相减就出来了对易子.

Dirac 表象

定义

Dirac 表象对 Hamiltonian 进行了分解

$$\begin{align} H = H_0 + V_t \end{align}$$

第一项 $H_0$ 代表自由系统, 第二项 $V_t$ 代表含时的相互作用. Dirac 表象中将这两者的演化分别放到了算符和态中. $H_0$ 自由系统的演化放到了算符中, $V_t$ 含时相互作用的演化放到了态中. 和 Schrodinger 表象类似地, 定义 Dirac 表象中的演化算符, 作用也是将态从一个时刻演化到另一个时刻, 只不过这时的态是 Dirac 表象中的态.

首先定义 Dirac 表象中的初态与 Schrodinger 表象中的初态相同, 即

$$\begin{align} | \psi_D (t_0) \rangle = | \psi_S (t_0) \rangle \end{align}$$

然后定义 Dirac 表象中 $t$ 时刻的态

$$\begin{align*} \langle \psi_S(t) | A_S | \psi_S(t)\rangle =& \langle \psi_S (t_0) |\cdot U_S (t_0,t) \cdot A_S \cdot U_S(t,t_0) \cdot|\psi_S (t_0) \rangle \\ =& \underbrace{ \langle \psi_S (t_0) | U_D (t_0,t) }_{ \langle \psi_D(t) | } \underbrace{U_0(t_0,t) A_S U_0(t,t_0)}_{ A_D(t) } \underbrace{ U_D (t,t_0) | \psi_S(t_0)\rangle }_{ | \psi_D(t)\rangle } \end{align*}$$

上式就是我对 Dirac 表象中的演化算符的定义. 单独把定义摘出来就是

$$\begin{align} \label{eq:evld1} | \psi_D(t) \rangle = U_D(t,t_0) | \psi_D(t_0)\rangle= U_0(t_0,t) U_S(t,t_0) |\psi_S(t_0)\rangle \end{align}$$

其中 $U_0(t,t') = e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}H_0(t-t')}$ , $H_0$ 在 Schrodinger 表象中的演化. 也就是说先把初态用总的 Hamiltonian 演化到 $t$ 时刻, 再自由系统的 Hamiltonian 演化回初态, 相当于把自由系统的时间演化去除. 换一种说法, 总的演化, 也就是 Schrodinger 演化, 是第一步先 Dirac 演化, 之后再用自由系统去演化. 这样态的演化相当于由相互作用主导.

但定义式 \eqref{eq:evld1} 不能给出任意两个时刻之间的 Schrodinger 演化算符和 Dirac 演化算符之间的关系. 这在逻辑上是连接不起来的. 不能直接把初始时刻 $t_0$ 换成任意时刻, 因为 $t_0$ 时刻是 Schrodinger 表象和 Dirac 表象的连接点. 不同的初始时刻会定义出不同的 Dirac 表象, 不同的 Dirac 演化算符. 下面将会看到这一点.

下面得到任意两个时刻之间的 Dirac 演化算符与 Schrodinger 演化算符之间的关系

$$\begin{align*} | \psi_D (t) \rangle = U_D(t,t') | \psi_D(t')\rangle =& U_D(t,t') U_0(t_0,t') U_S(t',t_0)| \psi_S(t_0)\rangle \\ =& U_0(t_0,t) U_S(t,t_0) | \psi_S (t_0) \rangle \end{align*}$$

由上式第三个等号可得

$$\begin{align} U_D(t,t') = U_0(t_0,t) U_S(t,t') U_0(t',t_0) \end{align}$$

可以看出, $t_0$ 选取的不同, 会定义出不同的 $U_D(t,t')$ . 上式说的物理就是, 要在 Dirac 表象中将两个不同时刻的态演化, 第一步先把它的 $H_0$ 加上, 变回到 Schrodinger 表象. 第二步在 Schrodinger 表象中演化到目标时刻 $t'$ . 最后, 再把 $H_0$ 的演化去年, 变到 Dirac 表象.

运动方程

由于 Dirac 表象中算符和态都会随时间变化, 所以算符和态各对应不同的运动方程.

对于 Dirac 表象的算符, 它就是 Hamiltonian 为 $H_0$ 的 Heisenberg 表象中的算符, 那么算符的运动方程就如同 Heisenberg 方程一般

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \dot{A}_D(t) = [A_D,H_0] + \boxed{\mathrm{i}\hbar U_0(t_0,t) \frac{ \partial A_D}{\partial t}U_0(t,t_0)} \end{align}$$

对于 Dirac 表象的态, 它的定义中的 $U_D(t,t_0)$ 的具体形式不知道, 只能将 \eqref{eq:evld1} 代入 Schrodinger 方程 \eqref{eq:seq}

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar| \dot{\psi}_D (t) \rangle = \mathrm{i}\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( U_0^{\dagger}(t,t_0) |\psi_S(t) \rangle \right) \end{align*}$$

右边的求导对应两项时间变化, 第一项会出来一个 $H_0$ ,第二项会出来一个 $H$ ,二者相减只剩下一个 $V_D$ .然后把 $| \psi_S(t)\rangle$ 变回到 Dirac 表象, 最终正好多出来相互作用在 Dirac 表象中的结果

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar | \dot{\psi}_D(t)\rangle = V_t^D (t) | \psi_D(t)\rangle \end{align}$$

演化算符

和 Schrodinger 表象类似, Dirac 表象中的演化算符的时间演化就是态的时间演化

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \dot{U}_D(t,t') = V_t^D(t)U_D(t,t') \end{align}$$

类似于 Schrodinger 表象, 演化算符的具体形式也可以写出

$$\begin{align} \label{eq:startpoint} \boxed{U_D(t,t') = T_D \left\{ e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \int_{t'}^t \mathrm{d}t'' V_{t''}^D(t'')} \right\}} \end{align}$$

其中 $V_{t}^D(t)$ 的下标 $t$ 代表相互作用含时, 括号中的 $t$ 代表想到作用演化产生的含时.

式 \eqref{eq:startpoint} 就是 diagram techniques 的起点!

Supplementary

一个 $n$ 维的这种"锥"的体积为对应的 $n$ 维的立方体体积的 $\frac{1}{n!}$ 的证明:

首先证明 $n$ 维"棱锥"的体积是对应的 $n$ 维立方体的体积的 $\frac{1}{n}$ . 这里的"棱锥"与"锥"是不同的, "棱锥"只是把一个维度捏到一个点上, 而"锥"是把每次增加的维度都捏到一个点上. 证明如下

  • 假设 $n$ 维立方体边长是 a ，那么它的体积是 $a^n$ 。
  • $n$ 维立方体的底面积，也就是 $n-1$ 维立方体的体积是 $a^{n-1}$ .
  • 所以 $n$ 维锥体的体积是 $\int_0^a a_1^{n-1}\text{d}a_1=\frac{1}{n}\cdot a^n$ .

证毕.

把 $n$ 维立方体的第 $n$ 个维度捏到一个点上, 体积变成 $\frac{1}{n}$ . 可以类比, 再把第 $n-1$ 个维度捏到一个点上, 体积变成 $\frac{1}{n\cdot (n-1)}$ . 再把第 $n-2$ 个维度捏到一个点上, 体积变成 $\frac{1}{n\cdot (n-1) \cdot (n-2)}$ , $\cdots$ , 所以都捏完, 体积就变成了 $\frac{1}{n!}$ .

证毕.